La matemática, considerada una actividad que ocupa grandes espacios en casi todas las situaciones cotidianas, es una ciencia intensamente dinámica y cambiante aún en su propia concepción profunda.
Esto sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje sencillo. Un ejemplo de esto son los numero irracionales: tal como π (pi) y por supuesto el número de oro o proporción áurea.
El caso de la proporción áurea nos parece una de las proporciones más completas y amplias que conocemos, ésta se extiende en prácticamente todos los campos en los que interviene el ser humano: en el arte con Da Vinci y su “mona lisa”; en la naturaleza donde se hace presente en cada tallo, hoja, flor e incluso en las alas de cualquier insecto. Que decir en la genética, en cada cadena de ADN, o en la anatomía; en la literatura, en la música y en la arquitectura, en cada escultura, en cada edificio como el Partenón; en cada partitura de Mozart y muchos otros, se hace presente el número phi.
Definitivamente la proporción áurea demuestra los verdaderos alcances de la matematica, que de hecho son infinitos.
Conclusión
La Matemática en el arte (Arquitectura)
Historia del número áureo
El número áureo, también denominado “número de oro”, “número dorado”, “sección áurea”, “razón áurea”, “razón dorada”, “media áurea”, “proporción áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega F (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional : Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre partes de un cuerpo o entre cuerpos, que encontramos en la naturaleza en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
Los pitagóricos, que definían los números como expresiones de proporciones (y no como unidades, tal y como hoy es común), creían que la realidad es numérica y que esta proporción expresaba una verdad fundamental acerca de la existencia. Fueron estas cualidades las que más tarde (en el Renacimiento) le atribuyeron el adjetivo de divina o de oro.
La proporción áurea o número de oro se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.
En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (La denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Platón (428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.
La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción : “La geometría tiene dos grandes tesoros : uno es el teorema de Pitágoras ; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”.
El número de oro en la arquitectura y el arte
Importancia de la proporción aúrea en la historia del arte
El número de oro no es sólo un instrumento matemático, también puede ser un arma creativa en manos de los mejores arquitectos y artistas de la historia de la humanidad.
El número áureo, utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, fue explotado por los griegos al máximo, usándolo en todas las facetas del arte. Más adelante, la evolución de la geometría contribuyó al desarrollo técnico y científico de la humanidad; además de ampliar los horizontes creativos de pintores, escultores y diseñadores.
Número de oro y Arquitectura
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C. Los egipcios levantaban sus tumbas, mastabas y pirámides sobre todo teniendo en cuenta las relaciones geométricas que se observan en volúmenes matemáticos.
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.
Otro ejemplo vendría dado por el Partenón ateniense: su alzado es el paradigma de rectángulo áureo en el Arte.
Y, del mismo modo, el Templo de Ceres, en Paestum (460 a.C.), tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico. Éste incorpora en sus columnas un capitel puramente geométrico con tres molduras:collarino, equino y ábaco. Sobre ella descansa el entablamento, también con tres partes: arquitrabe, frisa y cornisa. Cuenta la leyenda que se tomó la medida del pie de un hombre, sexta parte de su altura total, y se aplicó esta proporción a la edificación de una columna, por lo que en ella se aprecian las proporciones, fuerza y belleza del cuerpo masculino.
Otra edificación de interés vendría dada por la Tumba Rupestre de Mira, en Asia Menor. Ésta basa su construcción en un pentágono áureo en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo.
Le Corbusier y "el modulor"
También fue importante la figura de Le Corbusier, el cual se interesó de modo especial en las proporciones del cuerpo humano. Quería presentar una medida humana como alternativa al metro -la millonésima parte del cuadrante terrestre-, introducido por Napoleón. El resultado fue “el modulor”, un sistema de diseño basado en la medida de 113 cm. (la altura del ombligo medida desde el suelo) y en una proporción la sección áurea.
De esta manera una ventana estará a 113 cm. de altura, dividiéndola con la sección áurea, se obtienen 70 y 43 cm., las altura de una mesa y de una silla. Multiplicándose por dos, se obtienen 226 cm. la altura de la habitación, como un hombre con el brazo levantado. Y así sucesivamente.
El modulor consiste en dos escalas, la roja y la azul. Las dimensiones de la escala azul son el doble de la escala roja, y las divisiones de cada escala se basan en la proporción áurea. Por tanto el modulor no es solamente un instrumento de proporción arquitectónica, sino también un medio de asegurar la repetición de formas similares, como las diferentes formas que pueden hallarse en un rectángulo, gracias a unas líneas transversales horizontales y verticales.
La unidad de longitud de cualquier escala tiene su importancia, y la del modulor se basa en el cuerpo humano. Otro módulo usado por Le Corbusier es el del hombre con el brazo levantado por encima de la cabeza. Estos módulos se usaron con bastante éxito en el diseño de muebles, además de edificios.
El Número de Oro se ha encontrado presente desde las impresionantes construcciones de nuestros antepasados hasta las grandes obras de Arte de nuestro tiempo: la importancia de la proporción áurea en la Historia del Arte queda más que demostrada; y por tanto, vigente en el ser humano como parte de su esencia.
La Matemática en el arte (Pintura)
La contrucción del "mapa" del rostro de la Gioconda pintada por Leonardo de Vinci es similar a la construcción de la espiral áurea del nautilo.
La construcción fase por fase del mapa áureo del rostro de Mona Lisa
En el esquema nº 1 puede ver como el rostro de la Gioconda se encuadra perfectamente en un rectángulo áureo.
Dentro de ese rectángulo áureo dibujo un cuadrado en el esquema nº 2 quedando arriba otro rectángulo áureo.
En el rectángulo áureo obtenido en el esquema nº 2 realizo la misma operación (nº 3).
Vuelvo a realizar la misma operación en el esquema nº 4.
En el nº 5 traslado simétricamente según la línea que pasa justo encima de los ojos el cuadrado grande de arriba y el último rectángulo áureo obtenido. Puede ver que la línea que apunto sale exactamente del nacimiento del pelo (justo en la raya del pelo) pasa por la mitad de la nariz y termina en la mitad de donde empieza la boca de Mona Lisa.
En el dibujo nº 6 realizo la misma operación descrita en el nº 2 dos veces. El punto que señalo es exactamente el centro de la pupila del ojo izquierdo de la Gioconda y en el nº 8 el ojo derecho.
En el siguiente dibujo (nº7) traslado simétricamente según la línea que va del pelo a la boca lo dibujado en el nº 6.
En el nº 8 trazo un nuevo rectángulo áureo en el cual la esquina inferior izquierda del último cuadrado dibujado es exactamente el centro de la pupila del ojo derecho de la Gioconda.
El Hombre de Vitruvio
En su "El hombre de Vitruvio", Leonardo da Vinci realiza una visión del hombre como centro del Universo al quedar inscrito en un círculo y un cuadrado. El cuadrado es la base de lo clásico: el módulo del cuadrado se emplea en toda la arquitectura clásica, el uso del ángulo de 90º y la simetría son bases grecolatinas de la arquitectura. En él se realiza un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano, el canon clásico o ideal de belleza.
Sigue los estudios del arquitecto Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio ) arquitecto romano del siglo I a.c. a quien Julio Cesar encarga la construcción de máquinas de guerra. En época de Augusto escribió los diez tomos de su obra De Architectura, que trata de la construcción hidráulica, de cuadrantes solares, de mecánica y de sus aplicaciones en arquitectura civil e ingeniería militar. Su obra fue publicada en Roma en 1486 realizándose numerosas ediciones. Es indudable que Leonardo da Vinci se inspiró en el arquitecto romano.
Las Proporciones del Hombre de Vitruvio
“Vitruvio el arquitecto, dice en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sigue: que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre; y estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro».
La anterior es la traducción completa del texto que acompaña al Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En realidad es una traducción de las palabras de Vitrubio pues el dibujo de Leonardo fue originalmente una ilustración para un libro sobre las obras de Vitrubio. El Hombre de Vitruvio es probablemente una de las imágenes más famosas y reconocibles de Leonardo. La composición del Hombre de Vitruvio, tal y como fue ilustrada por Leonardo da Vinci, se basa por entero en el tratado del propio Vitruvio citado anteriormente sobre las dimensiones del cuerpo humano, que ha probado ser en buena parte conecto. El énfasis se pone, al construir la composición, en la racionalización de la geometría, por medio de la aplicación de números enteros pequeños.
El hombre de Vitrubio es un claro ejemplo del enfoque globalizador de Leonardo que se desarrolló muy rápidamente durante la segunda mitad de la década de 1480. Trataba de vincular la arquitectura y el cuerpo humano, un aspecto de su interpretación de la naturaleza y del lugar de la humanidad en el "plan global de las cosas". En este dibujo representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más importante era vincular lo que descubría en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza.
La Matematica en La Naturaleza
En este artículo abordamos la concepción natural de perfección en la belleza de la naturaleza y su relación con el número áureo. También discutimos las realizaciones de esta proporción que pueden observarse en diversos campos de la ciencia,
una relación matemática fundamental para derivar su valor.
La serie de Fibonacci es uno de los conjuntos de números que aparecen muy frecuentemente dentro de la naturaleza. Por ejemplo, el número de pétalos de muchísimas flores es un número de la serie, el número de ramas que se van obteniendo a medida
que el árbol crece es usualmente un número perteneciente a la serie 6 3. Otro ejemplo es el cono de piño. Un cono de pino se puede pensar como un conjunto de
espirales que se van retorciendo hasta llegar a unirse en un punto que es el que se une al tallo. Hay ocho espirales en la dirección de las manecillas del reloj, mientras que hay 13 que se acercan más rápidamente a la punta en contra de las manecillas del reloj (situación muy similar se puede observar en una piña o en el girasol o en la coliflor).
La frecuencia con la que números pertenecientes a la serie de Fibonacci se manifiestan dentro de muchos objetos o situaciones en la naturaleza parecen indicar que hay algo intrínseco y óptimo que la naturaleza ha desarrollado ¿Por qué estos números se repiten en muchas plantas? ¿Por qué en la estructura de muchos moluscos o en la forma del ser humano? ¿Hay algo valioso en estas proporciones? Lo que sí es
claro es que tiene muchas repercusiones en cómo la naturaleza se adapta a las condiciones del medio
El número áureo, considerado por Platón la mejor delas relaciones matemáticas, presente tanto en el cosmos como el microcosmos, seobtiene dividiendo un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre
la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y
la otra. De este modo se obtiene el número irracional, también denominado “número
de oro”, “número dorado”, “sección áurea”, “razón áurea”, “razón dorada”, “media
áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al
escultor griego Fidias):
Se trata de un número,
descubierto en la antigüedad no como “unidad” sino
como relación o proporción entre partes de un cuerpo
o entre cuerpos, que posee muchas propiedades
interesantes. Lo encontramos en la naturaleza en la
morfología de diversos elementos tales como
caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles,
el grosor de las ramas, proporciones humanas,etc. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
El numero áureo o Phi
La matemática en el arte (Literatura)
más el carácter de disciplina y exigencia, debido a ser la más lógica, esquemática,
formal y sistemática: lo que le confiere un aspecto de fortaleza cerrada y severa
(Servais, 1980).
En ese estado de cosas lógicamente su lenguaje suele mostrarse con unas características específicas de claridad, precisión y concisión; si bien, rebuscando, podrían hallarse excepciones, como el modo utilizado
por el matemático Rey y Heredia para definir el número e: «es la potencia infinita
obtenida por la evolución infinita de la unidad estéril, fecundada por la adición de
un elemento infinitesimal», que continúa aún de manera másenrevesada y barroca
(Etayo, 1990).
Este último caso, bastante inusual por cierto y que ha sido mencionado únicamente
con intención humorística, no debería sin embargo hacernos olvidar cuál es
la forma habitual del lenguaje matemático y más generalmente del lenguaje científico,
en el que «la Única elegancia permitida es la claridad», como afirma Marañón, aunque
este modo de expresión también es compartido de alguna manera por otros escritores
no científicos, corno por ejemplo Baraja: «Para mí, el ideal en el estilo no era el
casticismo, ni el adorno, ni la elocuencia; lo era en cambio, la claridad, la rapidez.
Lo que se necesita es exactitud y claridad; después, si se puede, elegancia, pero lo
primero es exactitud».
Por otro lado, hay quienes consideran que esa forma tan escueta de expresarse
y ese exclusivo culto a la claridad contribuyen a aislar aún más a las matemáticas
del común de los ciudadanos: «Las matemáticas están en el último lugar de la
comunicación con el público en general» U. Bernstein); y permiten asimismo extraer
algunas conclusiones no muy favorables sobre los libros de matemáticas y sus autores
(Kline, 1976): «La escritura de los matemáticos profesionales tiene un estilo propio.
Es sucinta, monótona, simbólica y dispersa. La preocupación principal es la corrección,
Pero los buenos textos deben tener un estilo vivo, atraer el interés, decir a los
estudiantes dónde van y por qué. El escribir es un arte y los matemáticos no lo
cultivan».
Parece deducirse de esta última cita que los matemáticos no fueran buenos
escritores; opinión sobre la que realmente no tenernos un juicio formado, pero que
probablemente sea válida para algunos· o quizá muchos de ellos. Lo que en cambio
sí parece probado, aunque seguramente sea poco conocido como casi todo lo
concerniente a las matemáticas, es que han existido, y existenun buen puñado
de matemáticos que han cultivado el arte de escribir, incluso para hablar de matemáticas.
Así comenta por ejemplo Menéndez Pelayo del libro de matemáticas de Pérez
Moya Arithmétice práctica y speculutivs (1562): «puede pasar todavía corno texto
de lengua, y dar a nuestros tratadistas más de una lección de aquella lúcida amenidad
que hasta en las matemáticas cabe» (Etayo, 1990).
Pero no hace falta irse a tiempos tan lejanos para encontrar rasgos de esos buenos
escritores, pues ha habido otros muchos más cercanos, corno el matemático H.
Poincaré (1854.1912), considerado en su época uno de los mejores prosistas franceses;
o el más famoso de Charles L. Dogson, matemático del siglo XIX universalmente
renombrado corno autor de /vlici« en el país de las merevilles escrito bajo el seudónimo de Lewis Carrol; o el aún más próximo de nuestro Premio Nobel de Literatura, José
de Echegaray, a la sazón presidente de la Sociedad Matemática Española.
Probablemente sea menos conocido en cambio el hecho del ingreso en la Real
Academia de la Lengua del insigne matemático Julio Rey Pastor (1888-1962),
con el discurso titulado Álgebra del lenguaje. En la contestación al mismo, Pernán
dice entre otras cosas: «No nos asustemos, pues, de esta imprevista amistad del
álgebra y la poesía»; relación que también ha sido señalada de algún modo por
Ortega, quien considera a la poesía «el álgebra superior de las metáforas» (Etayo,
1985).
De esa relación entre el álgebra y la poesía hay numerosas pruebas a lo largo
de la historia de la matemática; quizás el ejemplo más representativo sea la matemática
hindú de los siglos V a XII, denominada precisamente «la época de la poesía», pues
sus obras se escribieron en verso y revestidas de un lenguaje poético. Como muestra
de esto último citemos el libro Lilavati, escrito por Baskhara (s. XII), en el que pueden
leerse problemas de este tenor: «La raíz cuadrada de la mitad de un enjambre de
abejas se esconde en la espesura del jardín; una abeja hembra con su macho quedan
encerrados en una flor de loto, que los sedujo con su dulce perfume; y los 8/9
del enjambre quedaron atrás. Dime el, número de abejas».
Dejando ahora de lado las aportaciones de distintos matemáticos a la poesía,
parece oportuno plantearse la pregunta recíproca, es decir, si han existido asimismo
figuras de la literatura que hayan utilizado en sus obras conceptos o ideas esencialmente
matemáticos. La respuesta es afirmativa y presentamos a continuación algunos
ejemplos de ello.
En un artículo ya citado (Etayo, 1985) se mencionan varios poemas sobre temas
matemáticos, de los que vamos a referirnos a tres. El primero es un verso que
Tartaglia entregó a Cardano (s, XVI), y que no reproducitnos (está en italiano), en
el que se da cuenta del procedimiento de resolución de la ecuación cúbica, desconocido
hasta entonces. El segundo corresponde a La vida es sueño de Calderón (s.
XVII), al que pertenece el siguiente duetti no de alabanzas al rey Basilio:
ESTRELLA: «Sabio Tales,
ASTOLFO: docto Euclides,
ESTRELLA: que entre signos,
ASTOLFO: que entre estrellas,
ESTRELLA: hoy gobiernas,
ASTOLFO: hoy resides,
ESTRELLA: y sus caminos,
ASTOLFO: sus huellas
ESTRELLA: describes,
ASTOLFO: tasas y mides»
El tercero, en fin, es de j.M. Bartrina (s, XIX), de quien en su De omni re scibili
se encuentra el siguiente verso cargado de ironía:
«¡y aún dirán de la ciencia que es prosaica!
¡Hay nada, vive Dios,
bello como la fórmula algebraica
e = !»
Y es posible asimismo encontrar argumentos matemáticos en diferentes escritores
de este siglo, corno Jorge Luis Borges o la polaca Wislawa SZYlnborska, Premio Nobel
de Literatura y autora de un poema sobre el número p. O el soneto titulado A la
divina proporción de Rafael Alberti:
«A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco forrnas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro».
Terminamos con el siguiente verso del colombiano R. Nieto aparecido el 20/
09/89 en Diario 16, que permi te memorizar 32 cifras de Pi
(3'1415926535897932384626433832795 11. ) sin más que contar el número de letras
de cada palabra:
«Soy lema y razón ingeniosa
de nombre sabio que serie preciosa
valorando enunció magistral,
Por su ley singular bien medido
el grande orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual».
La Matemática en el arte (Música)
Es común escuchar que “hay Matemática en la Música porque
cuando se abre una partitura ésta está llena de numeritos”, es decir,
de los números del compás y las digitaciones. Obviamente esta
observación es muy simple. Se dice que hay Matemática en la
Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas.
Pero ¿hay Matemática en la Música? ¿Están relacionadas? ¿Qué
relación existe entre la Música y la Matemática?
Leibniz describe a la Música como "un ejercicio inconsciente en la
Aritmética". Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la
base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás
cuando comienza a estudiar una obra pero después de un tiempo
de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir
la magia de la Música. Sin embargo casi todos los "elementos
externos" de la Música se definen numéricamente: 12 notas por
octava; compás de 3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama; n
decibeles; semitono de raíz duodécima de dos; altura de 440 hz; lo
horizontal y lo vertical en la textura musical; arriba y abajo en la
escala; etc.
En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la
Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. La Música no se
consideraba un arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada
con la Matemática y la Física (la Acústica). Matemáticas un poco
más elevadas se utilizaron en el cálculo de intervalos, el cual requería el uso de logaritmos, y los problemas del temperamento
requerían del uso de fracciones continuas.
Es prácticamente desconocida la aplicación de algunos conceptos
matemáticos a otros aspectos de la Música como son el análisis,
los aspectos estéticos, la composición y la Teoría Matemática de la
Música. A continuación verán cómo Mozart aplicó los conceptos matemáticos en la Música:
- Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un "Juego
de Dados Musical K. 294 (Anh. C) para escribir valses con la
ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición".
cuarenta) y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una.
El juego comienza lanzando los dos dados, de tal manera que
tenemos 11 números posibles (del 2 al 12) y hacemos 8 tiradas
obteniendo distintos compases excepto los de la última columna
que son iguales (éstos últimos con dos posibilidades: una para la
repetición y otra para continuar con la segunda tabla. La segunda
tabla es igual a la primera excepto que tiene otros 88 compases con
los de la última columna idénticos. Así, mediante un simple
cálculo, utilizando conceptos del Álgebra Superior, se tienen 1114
valses diferentes, es decir, aproximadamente 3.797498335832
(1014) valses diferentes. Si se toca cada vals, con repetición de la
primera parte, en 30 segundos, se requerirían de 30(1114)
segundos, es decir, 131,857,581,105 días aproximadamente, o
bien, 361,253,646 años aproximadamente en tocarlos todos uno
tras de otro ininterrumpidamente. Es decir, un estreno mundial de
una obra de Mozart cada 30 segundos a lo largo de ¡361 millones
de años! (Recuérdese que la antigua edad de piedra comenzó hace
unos 35,000 años). Mozart era un aficionado a la matemática y su
enorme talento se mostró una vez más. Con este jueguito tan
sencillo ¡dejó la imposibilidad de que intérprete alguno pudiera
tocar su obra completa o de que alguna compañía de discos la
grabara!
La importancia de la matemática
Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender y analizar la abundante información que nos llega. Pero su uso va mucho más allá: en prácticamente todas las ramas del saber humano se recurre a modelos matemáticos, y no sólo en la física, sino que gracias a los ordenadores las matemáticas se aplican a todas las disciplinas, de modo que están en la base de las ingenierías, de las tecnologías más avanzadas, como las de los vuelos espaciales, de las modernas técnicas de diagnóstico médico, como la tomografía axial computadorizada, de la meteorología, de los estudios financieros, de la ingeniería genética, etc.
Pero las matemáticas son una ciencia pura, cuyos problemas por sí mismos suponen un reto desnudo para la inteligencia; Jacobi pensaba que la finalidad única de las matemáticas era rendir honor al espíritu humano. Su lenguaje universal las convierte en herramienta eficaz para la cooperación entre países más y menos desarrollados, favorecer un ámbito de colaboración que mejore la convivencia y fomentar la paz entre los pueblos.
Las matemáticas tienen, desde hace veinticinco siglos, un papel relevante en la educación intelectual de la juventud. Las matemáticas son lógica, precisión, rigor, abstracción, formalización y belleza, y se espera que a través de esas cualidades se alcancen la capacidad de discernir lo esencial de lo accesorio, el aprecio por la obra intelectualmente bella y la valoración del potencial de la ciencia. Todas las materias escolares deben contribuir al cultivo y desarrollo de la inteligencia, los sentimientos y la personalidad, pero a las matemáticas corresponde un lugar destacado en la formación de la inteligencia ya que, como señaló Aristóteles, los jóvenes pueden hacerse matemáticos muy hábiles, pero no pueden ser sabios en otras ciencias.
Las matemáticas están en el centro de nuestra cultura y su historia se confunde, a menudo, con la de la filosofía. De igual modo que las teorías cosmológicas y de la evolución han ejercido notable influencia en la concepción que los humanos tenemos de nosotros mismos, las geometrías no euclídeas han permitido nuevas ideas sobre el universo y los teoremas de la lógica matemática han puesto de manifiesto las limitaciones del método deductivo. También en el arte hay matemáticas. Desde que Pitágoras, el matemático más célebre, descubriera razones numéricas en la armonía musical hasta ahora la relación de las matemáticas con el arte ha sido permanente. Estos aspectos de las matemáticas las convierten en puente entre las humanidades y las ciencias de la naturaleza.