El numero áureo o Phi

El número phi (se pronuncia "número fi") también denominado número áureo ha sido utilizado en las bellas artes como la arquitectura o la pintura y aparece también en las plantas, los animales y el universo. Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo Para obtener el numero áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo. Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado, el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos. 2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a √5. Al que sumo 1 para completar el segmento y obtengo el valor de phi para dos, por lo tanto lo divido por dos. (√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034... He hecho un redondeo a 6 cifras después de la coma, este número es infinito. Aplicare este redondeo en las siguientes operaciones. Phi a partir de triangulo rectángulo Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E. Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D. Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1. Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo. Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi. Phi a partir de círculos concéntricos Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el diámetro de uno de ellos sea el doble del otro. Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado). Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ. Phi a partir de un pentágono En el primer pentágono ABCDE, trazo una línea AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a uno BE es igual a Phi. En el segundo pentágono ABCDE trazo líneas desde cada esquina hasta sus dos esquinas opuestas obteniendo otro pentágono FGHIJ. Si AG es igual a 1, AB es igual a phi y FG al inverso de Phi: 1/Φ. Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo En la siguiente tabla dividiendo el valor de arriba por el de abajo el resultado es Phi: FG AB FB CB FH AF Arco AB FE AK FJ CM ON AI Arco AG Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una línea que pasa por el centro de dos lados del triángulo llevándola hasta el círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi. En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H. La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I. Perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M. Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O. Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero. El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC. AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: 2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a v5. Recapitulemos: AB= v5 BC= 2 CA= 1 DE= 1 Ahora vamos a ver donde se encuentra Phi: AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034... (Phi) AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/Phi) Phi en la sucesión de Fibonacci Se puede hallar este número también con la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión matemática es la siguiente: 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233... Esta numeración consiste en sumar el anterior número para descubrir el siguiente, por ejemplo el siguiente a 8 es 8+5=13. ¿Pero que tiene que ver esta sucesión con el número áureo? Pues vea la siguiente tabla: Cociente entre un numero de la sucesión y su inmediatamente anterior Diferencia entre el cociente expuesto a la izquierda y el número áureo 1 ÷ 1 = 1 - 0,618034 2 ÷ 1 = 2 + 0,381966 3 ÷ 2 = 1,5 - 0,118034 5 ÷ 3 = 1.666667 + 0,048633 8 ÷ 5 = 1,6 - 0,018034 13 ÷ 8 = 1,625 + 0,006966 21 ÷ 13 = 1,615385 - 0,002649 34 ÷ 21 = 1,619048 + 0,001014 55 ÷ 34 = 1,617647 - 0,000387 89 ÷ 55 = 1,618182 + 0,000148 144 ÷ 89 = 1,617978 - 0,000056 233 ÷ 144 = 1,618056 + 0,000022 Comprobamos que paso tras paso nos acercamos más al número Phi. Las diferencias son cíclicas, cada vez más cerca de Phi y una vez la aproximación es por debajo del valor de phi, la vez siguiente por encima y así hasta el infinito... Es un logaritmo. Phi en el triángulo de Pascal Este es el triángulo de Pascal que se forma situando el número uno por sus dos laterales y los demás números se hallan sumando los dos números que tiene justo encima (según las V del dibujo). Sumando los números según las diagonales (líneas verdes y azules en el dibujo) obtenemos la sucesión de Fibonacci. Si cogemos la tercera linea diagonal: 1-3-6-10-15-21-28-36... Y sumamos una numero a la siguiente obtenemos los cuadrados sucesivamente de cada numero: • 1 + 3 = 4 que es el cuadrado de 2 (2² -> 2x2=4) • 3 + 6 = 9 que es el cuadrado de 3 (3² -> 3x3=9) • 6 + 10 = 16 que es el cuadrado de 4 (4² -> 4x4=16) Así prodriamos seguir hasta el infinito. línea áurea La razón entre el segmento entero y el segmento a es la misma que la razón entre los segmentos a y b, esta es la razón áurea. (a+b)/a = a/b -> a² = b(a+b) = ba+b² -> a² - ba - b² = 0 Para averiguar el valor de a vamos a solucionar esta última ecuación de segundo grado. a/b = Φ -> Como ha visto el arte tiene mucho que ver con las matemáticas y estas a su vez intentan dar explicaciones lógicas a la naturaleza y este universo tan grande y curioso. Por lo tanto es lógico que el hombre utilice las matemáticas para representar a través del arte este universo que nos rodea. También es lógico que empleemos herramientas basadas en las matemáticas para crear arte.